ВПР. Математика. 5 класс. Это мы не проходили…
Мне прислали хорошую задачку олимпиадного уровня для пятиклассников, которая включена то ли в реальный текст, то ли в текст для подготовки к ВПР.
Прежде всего обратим внимание на тенденцию: в голове у составителей заданий есть план, что спрашивать в каком классе. Что по утверждённым учебникам проверяемый материал не изучался, не имеет никакого значения, так как надсмотрщики держат в голове установки Я.Кузьминова и Д. Пескова, что бумажные учебники отомрут через 3-5 лет, Д.Песков планирует, что к 2035 текст (книга, статья) отомрёт как доминирующая форма знаниевой коммуникации.
Как будут передаваться знания иначе, пока не обсуждаем. Главное в другом: надсмотрщики за образованием не заморачиваются существованием различных подходов к порядку изложения материала.
Я много критиковал предлагаемые ими проекты за неграмотность — математическую и методическую — в формировании содержания, выносимого на проверку. Не буду повторяться. Обсудим только один вопрос, тему «Делимость». Составители программ для контроля включили действие деления (нацело) в программу 5 класса, а деление с остатком — 6 класс. Дети про остатки знают с начальной школы, если делили 365 на 5 столбиком. Но не знают, что все числа, делящиеся на 2, можно задать формулой 2n, а числа, дающие при делении остаток 1, формулой 2n + 1, где n — натуральное число. Не знают они в 5 классе свойств делимости и признаков делимости.
Разумеется, есть классическая российская схема изучения чисел, которой мы придерживаемся в своих учебниках (С.М. Никольский и др., Просвещение). Мы изучаем натуральные числа до конца в 5 классе. Но расплачиваемся за приверженность научности изложения материала тем, что десятичные дроби изучаем во второй половине 6 класса.
Итак, перейдём к задаче, которая доступна сильным учащимся 5 класса, обучающимся по нашим учебникам, но для них её уровень олимпиадный, он требует высокой культуры перебора имеющегося набора чисел с проверкой на выполнение всех условий задачи.
Учащимся, изучающим математику по учебникам Виленкина Н.Я. и др., а также по учебникам, копирующим построение линии числа в этом учебнике, остаётся, простите, «тупой перебор». Опишем возможное решение, которое можно ожидать от сильного ученика.
Способ 1. Плиток было больше 10, но меньше 100. При делении на 8 остаток должен быть больше 6 (иначе его нельзя уменьшить на 6 и получить натуральное число), то есть остаток 7. Выпишем числа вида 8n + 7, где n — натуральное число. Для каждого числа в скобках укажем остаток от деления этого числа на 9.
15 (6), 23 (5), 31 (4), 39 (3), 47 (2), 55 (1).
Первое число найдено, остаётся проверить, нет ли второго числа, обладающего тем же свойством.
Способ 2. Можно сократить перебор, если заметить, что одно и то же число можно записать и в виде 8n + 7, и в виде 9m + 1, где n и m — натуральные числа. Из равенства 8n + 7 = 9m + 1 следует, что 8n + 6 = 9m, то есть m — число чётное. Выпишем числа вида 9m + 1 для чётных m и укажем в скобках остаток от деления этого числа на 8.
19 (3), 37 (5), 55 (7), 73 (1), 91 (3).
Остаток 7 имеет число 55.
Наш внимательный читатель Алексей Владимирович предложил третий способ решения, который трудно ожидать от пятиклассника, но показать такой способ решения полезно.
Способ 3. Число 9m + 1, где m — натуральное число, при делении на 8 должно давать остаток 7. Так как 9m + 1 = 8m + m + 1, то найдём m, такое, чтобы число m + 1 при делении на 8 давало в остатке 7. Если m = 6, то получим 9m + 1 = 55, если m = 14 или больше, то 9m + 1 > 100.
Ответ. 55.
Насколько тот или иной способ рассуждения доступен вашим пятиклассникам, можно попробовать выяснить, но уровень методической грамотности разработчиков стратегии проверок и конкретных составителей задания оставляет желать лучшего. О пользе таких проверок и говорить нечего, что бы нам ни говорил руководитель Рособрнадзора А. Музаев.
P.S. Получено подтверждение, что задача была в реальном контроле. Один папа написал мне на почту: «Эту задачу мой младший сын не решил.((( Я её помню. Но мне всё же кажется, что она была необязательной.».