Задачка по геометрии из вьетнамской средней школы
Три дня назад на Яндекс.Дзене появилась короткая заметка с таким названием и таким рисунком.
Перед вами три квадрата (А, В и С). Красная полуокружность диаметра 5 пересекает эти три квадрата, как показано на рисунке. Точка O — это вершина квадрата В, она лежит на стороне квадрата A и на полуокружности. Требуется найти сумму площадей трёх квадратов.
Посмотреть разные способы решения задачи — правильные и не очень — можно по ссылке, приведённой выше. А мы решим задачу «по-нашему, по-неучёному», как говаривал Удодов-старший из чеховского «Репетитора».
Если бы радиус полуокружности был 5, то, припомнив египетский треугольник (3, 4, 5), выполним такое построение.
Итак, сторона клетки 1, радиус полуокружности 5, стороны квадратов 2, 4 и 6. Точка O лежит на пересечении стороны квадрата A, полуокружности и является вершиной квадрата B. В этом нас убеждает египетский треугольник. Сумма площадей трёх квадратов равна 16 + 4 + 36 = 56.
Линейные размеры в исходной задаче в два раза меньше, значит, сумма площадей квадратов там равна 56 : 4 = 14.
Ответ. 14.
Дополнение от 3.07.2020. Сегодня я получил приятное письмо от Анны Кольнер — мамы моей бывшей ученицы из школы 679 Советского района г. Москвы. В нём есть другая идея решения задачи.
Здравствуйте, Александр Владимирович! Случайно наткнулась на Ваш сайт. Я — мама Вашей бывшей ученицы Кольнер Иры. Она всегда вспоминает с удовольствием Ваши уроки, а мы, ее родители, вспоминаем Вас с благодарностью. Сейчас занимаюсь с внуком геометрией, хочу предложить решение задачи из вьетнамской средней школы, которую увидела у Вас на сайте. Я думаю, надо вписать в окружность угол, опирающийся на диаметр, с вершиной в точке O пересечения окружности с вершиной угла самого маленького квадрата. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами этого угла и диаметром окружности, высота, опущенная из прямого угла, будет равна стороне среднего квадрата, например, y. Если сторона самого маленького квадрата равна x, то сторона самого большого равна x + y. А квадрат высоты y будет равен произведению отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу, то есть (y – x)(2x + y). Решая это уравнение, получим, что y = 2x. Тогда 5x = 5, x = 1, и искомая сумма площадей равна 1 + 4 + 9 = 14.
Анна, спасибо за весточку из той интересной жизни (если не ошибаюсь, прошло больше 35 лет).
Теги: геометрия, задача по геометрии