Более сложные задачи, решаемые уравнением
438. Сейчас отцу 38 лет, сыну 15 лет, дочери 5 лет. Через сколько лет сыну и дочери вместе будет столько же лет, сколько и отцу?
439. а) У Васи было на 10 марок меньше, чем у Коли. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. У Васи осталось марок в 2 раза меньше, чем у Коли. По сколько марок было у мальчиков первоначально?
б) У Маши было на 5 открыток меньше, чем у Кати. Девочкам подарили еще по 3 открытки. У Кати стало открыток в 2 раза больше, чем у Маши. По сколько открыток было у девочек первоначально?
Начиная с задачи 439 (а) составление уравнения производится кратным сравнением величин, выраженных через x.
Пусть у Васи было x марок, тогда у Коли было x + 10 марок. После того как они подарили Саше по 15 марок, у Васи стало
x – 15, у Коли x + 10 – 15 = x – 5 марок. У Васи стало в 2 раза меньше марок, чем у Коли, поэтому
2(x – 15) = x – 5,
откуда x = 25. У Васи было 25 марок, у Коли 25 + 10 = 35 марок.
440.* На станции стояло два состава товарных вагонов (все вагоны одинаковой длины). В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором; когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?
441.* У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили еще 25 марок, то российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?
На примере этой задачи можно показать учащимся способ краткого оформления решения с помощью таблицы. Он пригодится для решении более сложных задач.
Пусть мальчику подарили x русских марок, тогда ему подарили
25 – x иностранных марок.
|
|
было |
подарили |
стало |
Российских |
210 |
x |
210 + x |
|
Иностранных |
65 |
25 – x |
90 – x |
Остается составить уравнение 210 + x = 3(90 – x) и решить его.
442. Отцу 32 года, сыну 8 лет. Через сколько лет отец будет:
1) в 3 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?
443. Брату 12 лет, он в 3 раза старше своей сестры. Через сколько лет он будет в 2 раза старше своей сестры?
444. а) Мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?
б) Брат в 3 раза старше сестры, а через 5 лет он будет в 2 раза старше сестры. Сколько сейчас лет брату и сестре?
445. Отец старше сына на 24 года. Сейчас он старше сына в 3 раза. Через сколько лет отец будет:
1) в 2 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?
Завершим цепочку задач о возрастах родственников задачей из сборника задач и упражнений Е.С. Березанской.
446. Мать старше дочери в 2,5 раза, а 6 лет назад мать была в 4 раза старше дочери. Сколько лет матери и сколько лет дочери?
К этой задаче дано указание: Мать старше дочери в 2,5 раза, то есть в разности лет матери и дочери возраст дочери содержится 1,5раза (2,5 – 1). В этой же разности 6 лет назад возраст дочери содержался 3 раза (4 – 1). Значит, возраст дочери через
6 лет увеличился в 2 раза (3:1,5).
Остается добавить, что теперь дочери 6 ·2 = 12 лет, а матери 12 ·2,5 = 30 лет. Здесь как раз тот случай, когда алгебраическое решение надо признать более простым.
447. В двух бидонах 70 л молока. После того как из каждого бидона продали по 20 л молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?
Рассмотрим пример использования таблицы для решения задачи 448, которую можно было бы решать с помощью системы.
448.* Двое ели сливы. Первый говорит второму: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну», на что второй ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?
I способ. Пусть у двоих первый раз станет по x слив, тогда сначала у первого было x – 2, а у второго x + 2 сливы. Второй раз у первого станет х – 4, а у второго х + 4 слив.
|
|
станет 1-й раз |
было сначала |
станет 2-й раз |
у первого |
x |
x – 2 |
x – 4 |
|
у второго |
x |
x + 2 |
x – 4 |
По условию задачи x + 4 в 2 раза больше, чем x – 4. Составим уравнение:
2(x – 4) = x + 4,
откуда x = 12. У первого было x – 2 = 10, у второго x + 2 = 14 слив.
II способ. При передаче двух слив второму у него окажется 1/2 всех слив, а при передаче двух слив первому у него окажется 1/3 всех слив (в 2 раза меньше, чем у второго). Тогда
2 + 2 = 4 сливы составляют 1 – 1/2 – 1/3 = 1/6 всех слив (рис. 7). Поэтому всех слив было
4: 1/6 = 24. У первого 1/2×24 – 2 = 10, а у второго 24 – 10 = 14.
Идею этого арифметического способа решения (для задачи 449) предложила ученица Ревякинской муниципальной гимназии Московской области (учитель Абросимова Т.В.).
Рис. 7
449.* Задача Евклида. Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?
450.* Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?
451.* Задача Л. Эйлера. Мул и осел несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осел,жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». Какого веса была ноша осла и ноша мула?
452.* Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моем возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь моему брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?
Таблица поможет распутать головоломное условие задачи 452.
|
|
было |
теперь |
будет |
мне |
x |
2x |
3x |
|
брату |
2x |
3x |
4x |
Остается составить уравнение и решить его.
453.* Задача ал-Каши. Плата работнику за 30 дней десять динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье?
454.* Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.). Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
Пусть одежда стоила x флоринов. За 7 месяцев работник должен получить x + 10/12 ·7 флоринов, а получил при расчете x + 2 флорина. Остается приравнять полученные выражения и получить ответ 9,2 флорина.
Отметим, что задачи 453–455 имеют арифметическое решение, основанное на подсчете платы за 1 месяц (день) не по отработанному, а по оставшемуся времени. Например, в задаче 454 работнику за оставшиеся 5 месяцев предстояло заработать 10 – 2 = 8 флоринов, значит, плата за месяц составляла 8:5 = 1,6 флорина. Тогда одежда стоила
1,6·7 – 2 = 9,2 (флорина).
455.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.
Алгебраическое решение задачи 455 приводит к уравнению x + 12/12 × 7 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса школы № 679 г. Москвы Аня А. предложила вычислять стоимость одного месяца работы проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7×1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).
456.* Старинная задача. Несколько работников получило 120 р. Если б их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?
I способ. Пусть было x работников и каждый получил 120/x р. Если бы работников было на 4 меньше, то каждый получил бы 120/x – 4 р., что в 3 раза больше, чем 120/x р. Составим уравнение:
3 × 120/x = 120/x – 4 .
После деления правой и левой части уравнения на 120 становится ясно, что в задаче есть лишнее условие: 120 р. Уравнение выглядит непривычно, но решить его можно как пропорцию (по смыслу задачи x > 0, поэтому знаменатели отличны от нуля).
II способ. Пусть было x работников. Если меньшим числом каждый получил бы в 3 раза больше, то работников было бы в 3 раза меньше. То есть x – 4 в 3 раза меньше x:
x = 3(x – 4).
Если не использовать обратную пропорциональность, то задачу можно решить, введя два неизвестных.
III способ. Пусть было x работников и каждый получил по y р. Если бы работников было x – 4, то каждый из них получил бы 3y р. Оба раза все работники получили бы одну и ту же сумму:
xy = 3y(x – 4).
Здесь y ≠ 0, поэтому
x = 3(x – 4).
Осталось решить уравнение и получить ответ.
457.* Старинная задача. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.
458.* Старинная задача. Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 деньги без 5 яиц. Сколько яиц приходится на 1 деньгу?
Пусть x денег стоит яйцо, тогда:
25х + 0,5 = 3 – 5х,
30х = 2,5.
Это означает, что 30 яиц стоят 2,5 деньги. Тогда на 1 деньгу приходится 30:2,5 = 12 яиц.
Две следующие задачи также можно решить с помощью уравнения. Их объединяет то, что обе они были опубликованы в популярной газете «Московский комсомолец».
459. За неделю до получения стипендии у четырех студентов осталось 45 р. Если бы деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех четверых денег было бы поровну. Сколько денег было у каждого студента?
Для решения задачи надо обозначить через x число рублей, которое оказалось бы у каждого студента, если бы деньги первого увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое. Остается выразить через x первоначальные суммы денег, составьте уравнение и решить его.
460. Три брата делили мешок яблок. Старший оставил себе на 12 яблок больше, чем дал среднему, и в 3 раза больше, чем дал младшему. Из своих яблок средний брат съел ровно в 2 раза больше, чем было дано младшему, но на 9 яблок меньше, чем старший. Сколько яблок съел старший брат, если известно, что младший съел на 42 яблока меньше, чем было дано среднему, и у него еще осталось 6 яблок?