Воспользуемся советом «Не бойтесь вводить лишние буквы!»
Рассмотрим решения двух задач из школьного учебника геометрии [1]. При их решении воспользуемся советом «Не бойтесь вводить лишние буквы!». Будем вводить буквы для обозначения неизвестных величин. Они лишние в том смысле, что по ходу решения не требуется знать их значения, от которых ответ не зависит.
848. Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
Решение. Сделаем рисунок и обозначим площади восьми фигур, полученных после разбиения буквами a, b, c, d, n, k, как показано на рисунке. Докажем требуемое равенство: d = a + b + c.
Параллелограмм BCMN имеет площадь в 2 раза большую, чем треугольники ABC и BCD, так как у них общее основание BC и равные высоты, проведённые к этому основанию.
Площадь параллелограмма равна сумме площадей этих треугольников:
d + b + n + k = a + b + n + b + k + c.
Упростив это равенство, получим: d = a+ b + c, что и требовалось доказать.
Решение. Если точка M совпадает с одной из вершин треугольника, то справедливость доказываемого равенства следует из теоремы Пифагора и равенства диагоналей прямоугольника.
Независимо от того, где лежит точка M — внутри или вне прямоугольника, проведём через точку M прямую, перпенди-кулярную AD, она пересекает прямую BC в точке N, а прямую AD в точке K. Обозначим AK= a, KD = b, MK = c, MN = d и проведём рассуждения, справедливые для каждого возможного случая расположения точки M.
Если точка M лежит внутри прямоугольника, то из теоремы Пифагора и равенства диагоналей прямоугольника следует справедливость равенств:
Если точка M лежит вне прямоугольника, то используя те же обозначения и повторив те же самые рассуждения получим справедливость доказываемого равенства.
Используемая литература
1. Математика. Геометрия : 7-9-е классы : базовый уровень : учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. – 14-е изд., перераб. Москва : Просвещение, 2023.